Когда началась война Евгений Весник, забыв свои обиды на советскую власть, пошел воевать. После войны, в 1948 году, он переехал в Москву, где окончил Театральное училище имени Щепкина и стал актером драматического театра имени Станиславского. А в 1954 году ушел в театр Сатиры, затем в труппу Малого театра.

В кино Весник начал сниматься в 1955 году. Среди наиболее ярких фильмов с участием Евгения Весника - "Обыкновенное чудо", "Семь стариков и одна девушка", "Угрюм-река", "Чудак из пятого "Б", "Чародеи" и "Ширли-мырли".

Евгений Весник почувствовал себя плохо во вторник утром - его мучили сильные головные боли. Супруга актера настояла на том, чтобы вызвать бригаду скорой помощи, и врачи настояли на экстренной госпитализации. В больнице выяснилось, что Весник перенес инсульт. В ночь с 9 на 10 апреля актер скончался.